當2025年寶雞文理學院研究生招生考試初試自命題考試大綱亮相的那一刻，整個考研群體為之震動，尤其是那些志在攻克高等代數(shù)這一學科的考生們。這份大綱承載著他們對未來研究生學習的期望與憧憬，成為他們現(xiàn)階段關注的焦點之一?？荚嚧缶V就像是一幅地圖，詳細地標注出高等代數(shù)考試領域中的各個知識點 “地標”，為考生們規(guī)劃出一條清晰的復習路線。考生們深知，只有深入研究大綱，才能準確把握復習方向，有效地整合知識資源，為在考研戰(zhàn)場上取得勝利積累雄厚的實力。

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寶雞文理學院

2025年碩士研究生招生考試大綱

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考試科目名稱：高等代數(shù) 考試科目代碼：[803]

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一、考試要求

1.基本概念

數(shù)域，一元多項式，整除，最大公因式，互素，不可約多項式，k重因式， 多項式的根和k重根，本原多項式。

n 級行列式，矩陣和初等變換，余子式和代數(shù)余子式。

n 維向量，線性組合、等價、線性相關、線性無關、極大線性無關組，秩， 基礎解系。

矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉置，可逆矩陣和伴隨矩陣，分塊矩陣。

二次型的矩陣、線性替換，矩陣合同，實二次型的正(負)慣性指數(shù)和符號差，正定二次型和正定矩陣。

單射、滿射和雙射，線性空間，線性相關，線性無關，基，維數(shù)，過渡矩陣， 子空間、生成子空間，交子空間，和子空間，直和，同構。

線性變換，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，核與值域。

歐氏空間，內積，向量的長度和夾角，正交，度量矩陣，正交基，標準正交 基，正交矩陣，正交變換，對稱變換，正交補。

2. 基本定理和性質

帶余除法定理，整除的性質，最大公因式存在唯一性，互素的性質，不可約 多項式的性質、因式分解定理，多項式 k 重因式的性質。

行列式按行(列)展開定理，克蘭姆法則。

線性相關、線性無關、極大線性無關組和秩的性質，矩陣秩的性質，線性方 程組的有解判定定理，齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的性質及結構。

矩陣乘積行列式公式和秩的公式，矩陣可逆的充要條件，等價矩陣的不變性 質。

實二次型的慣性定理，用非退化線性替換化二次型為規(guī)范形，正定二次型和 正定矩陣的性質。

線性相關、線性無關、基、維數(shù)的性質，過渡矩陣的性質，基變換及向量的 坐標變換公式，交子空間及和子空間的性質，維數(shù)定理，同構的充要條件。

線性變換的加法、數(shù)乘和乘法運算法則，線性變換與矩陣之間的關系，線性 變換(矩陣)的特征值、特征向量、特征多項式和特征子空間的性質，值域與核 的關系。

n 維歐氏空間標準正交基的存在性和標準正交基之間過渡矩陣的性質，歐氏 空間同構的充要條件，正交變換和對稱變換的性質，正交補的性質，實對稱矩陣 特征值的性質。

3.基本方法

判斷一個數(shù)集是數(shù)域，一元多項式的加法、減法和乘法運算，運用帶余除法 計算商式和余式，用輾轉相除法求最大公因式，運用艾森斯坦判別法判別有理數(shù) 域上的不可約多項式，證明多項式的整除性，最大公因式、互素與不可約多項式 的證明方法。

求排列的逆序數(shù)的方法，計算 n 級行列式的各種方法。

用消元法解線性方程組，判斷和證明向量組的線性相(無)關性，求向量組 和矩陣的秩，線性方程組有唯一解、有無窮多解和無解的條件，求齊次線性方程 組的基礎解系和非齊次線性方程組的通解。

矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉置的運算，求逆矩陣的方法。

求二次型的矩陣，化二次型為標準形和規(guī)范形，求實二次型的正(負)慣性 指數(shù)和符號差，證明和判斷二次型或矩陣的正定性。

線性空間和子空間的判斷與驗證，求向量關于給定基的坐標和兩組基的過渡 矩陣。判斷和證明向量組線性相(無)關或是基，求線性子空間的維數(shù)，證明子 空間的直和。

求線性變換關于給定基的矩陣，求線性變換(矩陣)的特征多項式、特征值 和特征向量，求線性變換的值域、核、秩和零度，線性變換(矩陣)對角化的方 法。

歐氏空間的判別，求向量的長度和夾角，判斷和證明向量組是標準正交基， 用施密特正交化過程求標準正交基，用正交變換化實二次型為標準形。

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二、考試內容

1.多項式

(1)數(shù)域的定義和性質。

(2)一元多項式的概念和運算。

(3)帶余除法定理、整除的概念和性質。

(4)多項式的最大公因式和互素的概念、性質與輾轉相除法。

(5)不可約多項式定義與性質、因式分解定理和標準分解式。

(6)多項式的 k 重因式和導數(shù)(微商)的定義、性質及其判別方法。

(7)多項式函數(shù)、多項式的根和 k 重根的定義，余數(shù)定理和綜合除法。

(8)復(實)系數(shù)多項式中的不可約多項式和因式分解定理。

(9)本原多項式的概念和性質，整系數(shù)多項式有理根的性質和求法，艾森斯坦判別法。

2. 行列式

(1)二、三級行列式的定義和作用，求二、三級行列式的值。

(2)n 元排列、逆序和奇偶排列的概念及性質，求逆序數(shù)的方法。

(3)n 級行列式的定義，確定行列式中任一項的符號。

(4)n 級行列式的性質，計算行列式的值。

(5)矩陣和初等變換的定義，用初等變換計算行列式的值。

(6)余子式和代數(shù)余子式的概念，行列式按行(列)展開公式，用降級法、 加邊法和遞推法計算行列式的值。

(7)用克蘭姆法則解線性方程組。

3. 線性方程組

(1)用消元法解線性方程組。

(2)n 維向量和 n 維向量空間的概念及運算。

(3)線性組合、等價、線性相關、線性無關、極大線性無關組和向量組的秩等概念及性質，線性相(無)關的判斷和證明。

(4)矩陣的秩的概念及性質，求秩的方法。

(5)線性方程組的有解判定定理，線性方程組有唯一解、有無窮多解和無解的判斷。

(6)齊次線性方程組的基礎解系的概念及求法，非齊次線性方程組的解的性質及結構，會求線性方程組的通解。

4. 矩陣

(1)矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉置的運算及性質。

(2)矩陣乘積行列式公式和秩的公式，運用這些公式進行證明。

(3)可逆矩陣和伴隨矩陣的定義與關系，矩陣可逆的充要條件，求逆矩陣的方法。

(4)分塊矩陣的加、減、數(shù)乘和乘法運算。

(5)矩陣的等價和初等矩陣的概念，掌握初等矩陣與初等變換的關系和等價矩陣的不變性質。

(6)分塊矩陣的初等變換，用初等變換求分塊矩陣的逆矩陣。

5. 二次型

(1)二次型的矩陣、線性替換和矩陣合同的概念，二次型與對稱矩陣的一 一對應關系。

(2)化二次型為標準形的方法。

(3)二次型的秩、復(實)二次型的規(guī)范形、實二次型的正(負)慣性指 數(shù)和符號差的概念，復(實)二次型的規(guī)范形的唯一性和實二次型的慣性定理， 用非退化線性替換化二次型為規(guī)范形。

(4)正定二次型和正定矩陣的概念和性質。

6. 線性空間

(1)映射的概念和運算，單射、滿射和雙射的判別。

(2)線性空間的定義與基本性質。

(3)向量的線性組合、向量組的等價、線性相關、線性無關、基、維數(shù)和坐標的定義及性質，求向量關于給定基的坐標。

(4)過渡矩陣的概念和性質，基變換及向量的坐標變換公式。

(5)子空間、生成子空間和線性方程組解空間的概念及性質。

(6)交子空間及和子空間的概念及性質，維數(shù)定理。

(7)直和的概念及充要條件。

(8)同構的概念及充要條件。

7. 線性變換

(1)線性變換的定義和性質。

(2)線性變換的加法、數(shù)乘和乘法運算及法則。

(3)線性變換的矩陣的概念、線性變換關于不同基的矩陣和線性變換與矩陣之間的關系，線性變換下向量的坐標公式。

(4)線性變換(矩陣)的特征值、特征向量、特征多項式和特征子空間的概念及性質。

(5)線性變換(矩陣)可對角化的條件，線性變換(矩陣)對角化的方法。

(6)線性變換的值域、核、秩和零度的概念，秩與零度(值域與核)的關系，求核與值域的方法。

(7)不變子空間的概念與性質。

8. 歐氏空間

(1)歐氏空間、內積、向量的長度、夾角、正交和度量矩陣的概念及基本性質。

(2)正交向量組、正交基、標準正交基和正交矩陣的概念，n維歐氏空間的標準正交基的存在性和標準正交基之間過渡矩陣的性質，施密特正交化過程。

(3)歐氏空間同構的定義和同構的充要條件。

(4)正交變換的定義及等價條件。

(5)正交補的概念及性質。

(6)對稱變換的定義及性質，實對稱矩陣特征值的性質，用正交變換將實二次型化為標準形的方法。

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三、試卷結構

1.考試時間：180分鐘

2.分數(shù)：150分

3.題型結構

(1)填空題(20分)

(2)單項選擇題(30分)

(3)計算題(60分)

(4)證明題(40分)

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四、考試內容來源

北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組編，王萼芳、石生明修訂，《高等代數(shù)》(第五版)， 高等教育出版社，2019年。

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高等代數(shù)科目考試大綱已清晰地展現(xiàn)在面前，考生們應充分利用這一寶貴資源。從線性方程組、矩陣、向量空間等基礎板塊入手，逐步深入到多項式、特征值與特征向量等重點難點內容。在復習過程中，注重知識的系統(tǒng)性與邏輯性，通過推導公式、證明定理來加深對概念的理解。同時，積極參與學習小組或與老師同學交流討論，拓寬解題思路。合理安排復習進度，分階段進行模擬考試，檢驗自己的學習成果并及時調整復習策略。只要考生們腳踏實地、持之以恒地按照大綱要求復習，就有望在考研中實現(xiàn)自己的目標，開啟學術新征程。

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以上是關于2025年寶雞文理學院研究生招生考試初試自命題考試大綱中《高等代數(shù)》科目的考試范圍，另外2025考研的小伙伴復習到哪里了?小編貼心為你們準備了豐富的學習資料，點擊備考資料即可獲取哦~