考研的舞臺(tái)上，數(shù)學(xué)科目尤其是高等代數(shù)是眾多考生面臨的重要挑戰(zhàn)，而2025年陜西師范大學(xué)碩士研究生招生考試自命題科目高等代數(shù)考試大綱的聚焦發(fā)布，成為考生們矚目的焦點(diǎn)?？忌鷤儩M(mǎn)心期待著大綱能聚焦高等代數(shù)的核心要點(diǎn)，如多項(xiàng)式理論的深度考查范圍、線性空間與線性變換的關(guān)鍵考點(diǎn)等。他們仿佛在黑暗中摸索的行者看到了曙光，期望借助大綱定位復(fù)習(xí)方向，在高等代數(shù)的知識(shí)迷宮中找到通往成功的捷徑，開(kāi)啟數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)進(jìn)階之路。

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陜西師范大學(xué)碩士研究生招生考試

“826-高等代數(shù)”考試大綱

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本《高等代數(shù)》考試大綱適用于陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專(zhuān)業(yè)碩士研究生招生考試. 高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生基礎(chǔ)課程之一，也是大多數(shù)理工科專(zhuān)業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課.它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ矩陣，歐氏空間等. 要求考生熟悉這門(mén)課程中的基本概念、熟練掌握基本理論、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力以及綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

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一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法. 要求考生具有對(duì)高等代數(shù)這門(mén)課程的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

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二、考試方法和考試時(shí)間

高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

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三、 考試內(nèi)容

(一) 多項(xiàng)式

1. 數(shù)域及其性質(zhì).

2. 一元多項(xiàng)式及其運(yùn)算.

3. 帶余除法;整除定義.

4. 最大公因式;輾轉(zhuǎn)相除法;互素.

5. 不可約多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì);因式分解定理.

6. k-重因式;重因式的判別和求法.

7. 多項(xiàng)式函數(shù)與根;多項(xiàng)式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

8. 代數(shù)基本定理;復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解;實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解.

9. 本原多項(xiàng)式;Gauss引理.

10. 在整數(shù)集上的多項(xiàng)式的分解問(wèn)題;艾森施坦因判別法;有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根.

(二) 行列式

1. 排列及其性質(zhì).

2.n級(jí)行列式定義.

3. 行列式的性質(zhì).

4. 行列式的計(jì)算方法.

5. 行列式的一行(列)展開(kāi).

6. 非齊次與齊次線性方程組;克蘭姆法則及有關(guān)定理.

7. k級(jí)子式;k級(jí)子式的代數(shù)余子式;拉普拉斯(Laplace)定理;行列式乘法法則.

(三) 線性方程組

1. 高斯消元法;消元法的矩陣表示;齊次線性方程組.

2. n維向量空間.

3. 線性相關(guān);線性無(wú)關(guān);向量組的秩.

4. 矩陣的秩;矩陣的秩的有關(guān)結(jié)論;矩陣秩的計(jì)算.

5. 線性方程組有解的判定定理.

6. 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu);一般線性方程組解的結(jié)構(gòu).

(四) 矩陣

1. 矩陣的運(yùn)算.

2. 矩陣乘積的行列式;非退化矩陣;矩陣乘積的秩.

3. 可逆矩陣的判定及求法;逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律.

4. 分塊矩陣的運(yùn)算.

5. 初等矩陣;等價(jià)矩陣;用初等變換求矩陣的逆.

6. 矩陣分塊乘法的初等變換.

(五) 二次型

1. 二次型的矩陣表示;非退化線性替換;矩陣的合同.

2. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形;配方法.

3. 復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形;實(shí)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形.

4. 正定二次型及其判定.

(六) 線性空間

1. 線性空間及其性質(zhì).

2. 維數(shù);基與坐標(biāo).

3. 過(guò)渡矩陣及其性質(zhì);坐標(biāo)變換公式.

4. 線性子空間及其判定;生成空間及其性質(zhì);基的擴(kuò)充定理.

5. 子空間的交;子空間的和;維數(shù)公式;子空間的交與和的有關(guān)性質(zhì).

6. 直和及其判定;子空間的補(bǔ);多個(gè)子空間的直和.

(七) 線性變換

1. 線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì);有關(guān)例子.

2. 線性變換的運(yùn)算;線性變換的逆;線性變換的多項(xiàng)式.

3. 線性變換的矩陣;原向量與像向量坐標(biāo)之間關(guān)系.

4. 特征值與特征向量;特征子空間;特征多項(xiàng)式

5. 線性變換可對(duì)角化的概念;可對(duì)角化的條件;可對(duì)角化的一般方法.

6. 值域與核的有關(guān)性質(zhì).

7. 不變子空間;線性空間的直和分解.

8. 最小多項(xiàng)式的基本性質(zhì);幾類(lèi)矩陣的最小多項(xiàng)式.

(八)λ-矩陣

1. λ-矩陣及其性質(zhì);λ-矩陣的秩;可逆λ-矩陣.

2. λ-矩陣的初等變換;λ-矩陣的等價(jià);標(biāo)準(zhǔn)形及其求法.

3. 行列式因子;不變因子及其求法.

4. 矩陣相似的條件;矩陣相似的幾個(gè)判定方法.

5. 初等因子與不變因子的區(qū)別與聯(lián)系;初等因子的求法.

6. 若當(dāng)塊的初等因子;若當(dāng)形矩陣的初等因子.

(九) 歐幾里得空間

1. 內(nèi)積;歐氏空間;內(nèi)積的基本性質(zhì);向量的夾角;度量矩陣及其性質(zhì).

2. 正交向量組;標(biāo)準(zhǔn)正交基及其性質(zhì);標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法;正交矩陣.

3. 歐氏空間的同構(gòu);同構(gòu)的基本性質(zhì);同構(gòu)的判定方法.

4. 正交變換及其刻畫(huà);正交變換的性質(zhì);正交變換的分類(lèi).

5. 正交子空間及其性質(zhì);正交補(bǔ).

6. 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及其性質(zhì);實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交對(duì)角化.

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四、掌握重點(diǎn)

(一) 多項(xiàng)式的整除理論.

(二) 最大公因式;輾轉(zhuǎn)相除法;互素.

(三) 一般數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解理論.

(四) 多項(xiàng)式函數(shù).

(五) 復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域以及有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解.

(六) 行列式定義及計(jì)算.

(七) 矩陣的運(yùn)算及其理論.

(八) 可逆矩陣及其應(yīng)用.

(九) 分塊矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用.

(十) 矩陣的秩及其應(yīng)用.

(十一) 初等矩陣的概念及其性質(zhì).

(十二) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形理論.

(十三) 正定二次型及其應(yīng)用.

(十四) 線性空間的概念及性質(zhì).

(十五) 子空間的概念及性質(zhì).

(十六) 子空間的運(yùn)算及其性質(zhì).

(十七) 線性變換及其運(yùn)算.

(十八) 線性變換的特征值理論及應(yīng)用.

(十九) 線性變換的不變子空間及其應(yīng)用.

(二十) 矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算及其應(yīng)用.

(二十一) 歐氏空間的概念及其性質(zhì).

(二十二) 正交變換及其性質(zhì).

(二十三) 對(duì)稱(chēng)變換及其性質(zhì).

(二十四) 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣及其性質(zhì).

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五、參考書(shū)目

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編. 高等代數(shù)(第四版)，高等教育出版社，2013.

[2] 李志慧，李永明. 高等代數(shù)中的典型問(wèn)題與方法(第二版)，科學(xué)出版社，2016.

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高等代數(shù)考試大綱已聚焦呈現(xiàn)，考生們要緊緊圍繞大綱開(kāi)展復(fù)習(xí)攻堅(jiān)。深入鉆研多項(xiàng)式的各種性質(zhì)與運(yùn)算，熟練掌握線性空間與線性變換的基本定理與應(yīng)用技巧。通過(guò)整理錯(cuò)題集、建立知識(shí)模型等方式強(qiáng)化記憶與理解。積極與同學(xué)或老師交流探討高等代數(shù)的疑難問(wèn)題，拓寬解題思路。在考試中，以沉穩(wěn)的心態(tài)和扎實(shí)的知識(shí)功底，準(zhǔn)確地解答高等代數(shù)題目，向著數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)深造的目標(biāo)堅(jiān)定前行，收獲理想的考研成績(jī)。

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以上是關(guān)于2025年陜西師范大學(xué)碩士研究生招生考試自命題科目考試大綱中《826-高等代數(shù)》科目的信息，想了解更多考研資訊，可以關(guān)注>優(yōu)路-考研<頻道頁(yè)，獲取更多考情資訊和復(fù)習(xí)資料。