在考研的浩瀚海洋中，考生們?nèi)缤赂业暮叫姓咴趯ふ曳较颉?025年，北京航空航天大學數(shù)學科學學院成為眾多考生關注的焦點。北航數(shù)學科學學院考研中891數(shù)學專業(yè)綜合課考試大綱的出現(xiàn)，就像是一張新的航海圖展現(xiàn)在考生面前?？忌鷤兗娂妼⒛抗馔断蜻@里，渴望從大綱中梳理出數(shù)學專業(yè)綜合課考試的重點板塊和大致框架。對于那些熱愛數(shù)學、希望在數(shù)學領域深入鉆研的考生來說，這份大綱是他們備考道路上的重要指引，開啟了一段充滿挑戰(zhàn)與探索的學習旅程。

請考生注意：

1、數(shù)學專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三門課程的內(nèi)容，

考生可任選其中二門課程的試題解答，多選無效。

2、每門課試題滿分75分。

常微分方程考試大綱

一、基本內(nèi)容與要求

(一)初等積分法

1、熟練掌握變量可分離方程、可化為變量分離方程的類型、一階線性方程與常數(shù)變易法、全微分方程與積分因子等的解法。掌握一階隱方程與參數(shù)表示。

2、會應用降階法解某些高階方程。

3、會建立簡單的微分方程模型。

(二)線性方程和線性方程組

1、掌握線性微分方程(組)的一般理論.

2、掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.

3、能應用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對方程的解做簡單定性分析.

4、了解二階線性方程的冪級數(shù)解法和Laplace方法。

5、會應用二階常系數(shù)線性方程分析振動現(xiàn)象。

6、會求二階微分方程組的奇點及其類型

(三)基本定理

1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關于初值的連續(xù)、可微性定理

2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。

近世代數(shù)考試大綱

一、基本內(nèi)容與要求

(一)基本概念

1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運算，能夠在集合之間建立映射關系，并判斷兩個映射是否相同。

2、掌握代數(shù)運算與映射的關系，能夠建立有限集合之間的運算表，并判斷給定的運算是否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。

3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射(滿同態(tài))的關系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射(滿同態(tài))，掌握具有同態(tài)滿射(滿同態(tài))的集合之間的聯(lián)系。能夠判定給定的映射和運算是否是同構(gòu)關系，能建立兩個集合之間的同構(gòu)映射。

4、理解關系和等價關系的概念，掌握等價關系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，熟練判定給定的關系是否是等價關系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定模的剩余類。

(二)群論

1、掌握群的等價定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關系，會計算群元素的階。

2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握一個群的自同構(gòu)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的像也是單位元，元a的逆元的像是a的像的逆元。

3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。

4、熟練掌握變換的符號的運用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個群都同一個變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運算。

5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字(不相連)的循環(huán)置換(輪換)的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關系。

6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關系，以及子群與子群之間的關系。

7、掌握陪集的定義，以及與等價關系和分類之間的關系，了解子群與陪集之間的關系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。

8、掌握不變子群(正規(guī)子群)的定義，能掌握一個群的子群是不變子群(正規(guī)子群)的充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關系的群之間子群或不變子群(正規(guī)子群)的象的性質(zhì)。并能將子

群或不變子群(正規(guī)子群)的性質(zhì)運用到循環(huán)群、變換群等群之中。

9、掌握sylow定理的應用。

(三)環(huán)與域

1、理解交換環(huán)的定義和例子，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運用。掌握消去律與零因子的關系。

2、了解除環(huán)的定義，能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關系。熟悉無零因子環(huán)中的計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質(zhì)

3、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，了解多項式成環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關未定元的作用。

4、掌握理想的定義，理解理想的構(gòu)成，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個子環(huán)是否為理想，和理想是否為主理想。了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關聯(lián)。

5、掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，了解商域的構(gòu)成，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)的定理。理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。

6、理解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)、整數(shù)環(huán)都是主理想環(huán)與唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個歐氏環(huán)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試大綱

一、基本內(nèi)容與要求

(一)概率論

1、理解隨機事件和樣本空間的概念，掌握事件之間的關系與運算；理解并熟練掌握概率的古典定義；理解幾何概率，概率的統(tǒng)計定義及公理化定義；熟練掌握概率的基本性質(zhì)，會用于計算；理解并掌握條件概率的定義，事件獨立性。熟練掌握乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式及其應用；熟練掌握Bernoulli概型。

2、理解隨機變量的概念；理解并熟練掌握分布函數(shù)、分布律、概率密度等概念及其性質(zhì)，掌握分布函數(shù)與分布律，分布函數(shù)與概率密度之間的關系；掌握二項分布、Poisson分布、均勻分布、指數(shù)分布，熟練掌握正態(tài)分布，會查標準正態(tài)分布表；熟練掌握隨機變量函數(shù)分布的求法。

3、熟練掌握隨機變量的數(shù)學期望、方差及其求法。掌握特征函數(shù)的定義及性質(zhì)，特征函數(shù)與期望和方差之間的關系，理解反演公式和唯一性定理。

4、理解二維隨機變量及其分布的定義，會求邊緣分布，掌握隨機變量的獨立性；掌握二維隨機變量期望、方差、協(xié)方差、相關系數(shù)及其性質(zhì)；理解條件分布和條件數(shù)學期望；會求二維隨機變量函數(shù)的分布；理解二維隨機變量特征函數(shù)及其性質(zhì)；了解三維及三維以上隨機變量的定義和分布；掌握n維正態(tài)分布定義及性質(zhì)，χ2-分布、t-分布和F-分布。

5、理解大數(shù)定律和中心極限定理的統(tǒng)計背景，意義及其應用，了解依概率1收斂，依概率收斂及依分布收斂的意義和相互關系。

(二)數(shù)理統(tǒng)計

1、掌握數(shù)理統(tǒng)計的基本概念；熟練掌握矩估計法和極大似然估計法；熟練掌握無偏估計、有效估計和相合估計；熟練掌握區(qū)間估計定義及其意義。

2、充分理解和掌握Neyman-Pearson假設檢驗的基本思想和方法；熟練掌握正態(tài)總體參數(shù)假設檢驗方法。

隨著對891數(shù)學專業(yè)綜合課考試大綱的梳理，考生們對備考有了更明確的思路。他們會根據(jù)大綱的指引，認真規(guī)劃學習步驟，不斷深入學習。在未來的日子里，他們將以堅定的決心和不懈的努力，鉆研大綱中的知識點。相信這份大綱會見證他們的成長與進步，陪伴他們度過這段緊張而充實的備考時光。期待他們在考試中取得理想的成績，為自己的數(shù)學深造之路奠定基礎。

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