踏入科研殿堂的門檻，每一道考試都是對學術能力的錘煉。在中國科學院大學這片科研沃土上，考研招生高等數(shù)學（丙）的考試大綱，如同指引學術航向的燈塔，為即將揚帆起航的學子們照亮了前行的道路。本文將帶您一同概覽2025年中國科學院大學考研招生高等數(shù)學（丙）的考試大綱，揭示其背后的學科邏輯與考核重點，為您的備考之路提供一份清晰的導航圖。下面是具體的考試大綱內(nèi)容：

一、考試性質(zhì)

中國科學院大學碩士研究生入學高等數(shù)學(丙)考試是為招收理學非數(shù)學專業(yè)碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學素質(zhì)，包括對高等數(shù)學各項內(nèi)容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力?？荚噷ο鬄閰⒓尤珖T士研究生入學考試、并報考化學、生態(tài)學等專業(yè)的考生。

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二、考試的基本要求

要求考生系統(tǒng)地理解高等數(shù)學的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

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三、考試方法和考試時間

高等數(shù)學(丙)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

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四、考試內(nèi)容和考試要求

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法；函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形

數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；無窮小和無窮大的概念及其關系；無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較；極限的四則運算；極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則；兩個重要極限：公式見附件

函數(shù)連續(xù)的概念；函數(shù)間斷點的類型；初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。

2.理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法。

3.理解復合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。會求給定函數(shù)的復合函數(shù)和反函數(shù)。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念(包括數(shù)列極限和函數(shù)極限)，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。

7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.掌握連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并會應用這些性質(zhì)。

(二)一元函數(shù)微分學

考試內(nèi)容

導數(shù)的概念；導數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系；平面曲線的切線和法線；基本初等函數(shù)的導數(shù)；導數(shù)的四則運算；復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)的求法；參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法；高階導數(shù)的概念；高階導數(shù)的求法；微分的概念和微分的幾何意義；函數(shù)可微與可導的關系；微分的運算法則及函數(shù)微分的求法；一階微分形式的不變性；微分在近似計算中的應用；微分中值定理；洛必達(L’Hospital)法則；泰勒(Taylor)公式；函數(shù)的極值；函數(shù)最大值和最小值；函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線；函數(shù)圖形的描繪

考試要求

1.理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。

2.掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本的求導方法。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3.了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。

4.會求分段函數(shù)的一階、二階導數(shù)。

5.會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)

6.會求反函數(shù)的導數(shù)。

7.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，掌握這四個定理的簡單應用。

8.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用。

9.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

10.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

(三)一元函數(shù)積分學

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分的基本性質(zhì)；基本積分公式；定積分的概念和基本性質(zhì)；定積分中值定理；變上限定積分定義的函數(shù)及其導數(shù)；牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式；不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分；廣義積分(無窮限積分、瑕積分)；定積分的應用

考試要求

1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2.熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓-萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。

3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4.理解變上限定積分定義的函數(shù)，會求它的導數(shù)。

5.理解廣義積分(無窮限積分、瑕積分)的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。

6.會利用定積分計算平面圖形的面積.旋轉(zhuǎn)體的體積和函數(shù)的平均值。

(四)多元函數(shù)微積分學

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限和連續(xù)；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念及求法；多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法；二階偏導數(shù)的求法；多元函數(shù)的極值和條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用；全微分在近似計算中的應用；二重積分的概念及性質(zhì)；二重積分的計算和應用

考試要求

1.理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。

2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運算性質(zhì)，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3.理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求偏導數(shù)和全微分，掌握多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法，掌握隱函數(shù)的偏導數(shù)求法。

4.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

5.了解全微分在近似計算中的應用。

6.了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計算方法(直角坐標.極坐標)。

(五)無窮級數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念；收斂級數(shù)的和的概念；級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性；正項級數(shù)收斂性的判別法；交錯級數(shù)與萊布尼茨定理；任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念；冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域；冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法；泰勒級數(shù)；初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式；函數(shù)的冪級數(shù)展開式在近似計算中的應用

考試要求

1.理解常數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件

2.掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散情況。

3.掌握正項級數(shù)收斂性的各種判別法。

4.了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

6.理解冪級數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。

7.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

8.掌握一些常見函數(shù)如ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)^α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

9.會利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行近似計算。

(六)常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念；變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；伯努利(Bernoulli)方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程；可降價的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；微分方程的簡單應用

考試要求

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2.掌握變量可分離的微分方程的解法，掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。

3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。

4.會用降階法解下列方程：y(n)=f(x)，y″=f(x，y′)和y″=f(y，y′)

5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。

6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

7.會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

8會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

(七)行列式

考試內(nèi)容

行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式按行(列)展開定理

考試要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì).

2.會應用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計算行列式.

(八)矩陣

考試內(nèi)容

矩陣的概念；矩陣的線性運算；矩陣的乘法；方陣的冪；方陣乘積的行列式；矩陣的轉(zhuǎn)置；逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；伴隨矩陣；矩陣的初等變換；初等矩陣；矩陣的秩；矩陣的等價；分塊矩陣及其運算

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì).

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì).

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.

4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法.

5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則.

(九)向量

考試內(nèi)容

向量的概念；向量的線性組合與線性表示；向量組的線性相關與線性無關；向量組的極大線性無關組；等價向量組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關系；向量的內(nèi)積

考試要求

1.了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運算法則.

2.理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質(zhì)及判別法.

3.了解向量組的極大線性無關組的概念和向量組秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.

4.理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系.

5.了解內(nèi)積的概念.掌握向量內(nèi)積的運算.

(十)線性方程組

考試內(nèi)容

線性方程組的克萊姆(Cramer)法則；線性方程組有解和無解的判定；齊次線性方程組的基礎解系和通解；非齊次線性方程組的解與相應的齊次線性方程組(導出組)的解之間的關系；非齊次線性方程組的通解

考試要求

1.會用克萊姆法則解線性方程組.

2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法.

3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.

4.了解非齊次線性方程組有解的條件，理解非齊次線性方程組解的結(jié)構及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

(十一)矩陣的特征值和特征向量

考試內(nèi)容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)；相似矩陣的概念及性質(zhì)；矩陣可對角化的充分必要條件；實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣

考試要求

1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質(zhì)，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.

2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質(zhì)，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.

3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).

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五、主要參考文獻

[1]《高等數(shù)學》第六版(上、下冊)，同濟大學數(shù)學系主編，高等教育出版社，2007年。

[2]《線性代數(shù)》第五版，同濟大學數(shù)學系主編，高等教育出版社，2007年。

編制單位：中國科學院大學

編制日期：2024年6月26日

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綜上所述，2025年中國科學院大學考研招生高等數(shù)學（丙）的考試大綱，以其嚴謹?shù)膶W科體系、明確的考核要求，為考生們構建了一個全面而深入的學習框架。在備考過程中，考生們應緊密圍繞大綱要求，系統(tǒng)掌握基礎知識，靈活運用解題方法，不斷提升自己的學術素養(yǎng)與解題能力。相信通過不懈的努力與探索，每一位考生都能在這片科研的海洋中乘風破浪，抵達理想的彼岸。

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