隨著學(xué)術(shù)研究的深入與發(fā)展，中國科學(xué)院大學(xué)作為科研與教育的先鋒，其考研高等數(shù)學(xué)（乙）的考試大綱也隨之不斷更新與完善。這份大綱，不僅是考生備考的重要指南，也是反映學(xué)科發(fā)展動態(tài)與趨勢的風(fēng)向標。今日，我們將深入剖析2025年中國科學(xué)院大學(xué)考研高等數(shù)學(xué)（乙）的考試大綱，從知識框架、考試要求到命題趨勢等多個維度進行全方位解讀，以期為廣大學(xué)子提供有益的參考與幫助。

一、考試性質(zhì)

中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)高等數(shù)學(xué)(乙)考試是為招收理學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生而設(shè)置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，包括對高等數(shù)學(xué)各項內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力?？荚噷ο鬄閰⒓尤珖T士研究生入學(xué)考試、并報考大氣物理學(xué)與大氣環(huán)境、氣象學(xué)、天文技術(shù)與方法、地球流體力學(xué)、固體地球物理學(xué)、礦物學(xué)、巖石學(xué)、礦床學(xué)、構(gòu)造地質(zhì)學(xué)、第四紀地質(zhì)學(xué)、地圖學(xué)與地理信息系統(tǒng)、自然地理學(xué)、人文地理學(xué)、古生物學(xué)與地層學(xué)、生物物理學(xué)、生物化學(xué)與分子生物學(xué)、物理化學(xué)、無機化學(xué)、分析化學(xué)、高分子化學(xué)與物理、地球化學(xué)、海洋化學(xué)、海洋生物學(xué)、植物學(xué)、生態(tài)學(xué)、環(huán)境科學(xué)、環(huán)境工程、土壤學(xué)等專業(yè)的考生。

---

二、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學(xué)的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

---

三、考試方式和考試時間

高等數(shù)學(xué)(乙)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

---

四、考試內(nèi)容和考試要求

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法；函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形

數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系；無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較；極限的四則運算；極限存在的單調(diào)有界準則和夾逼準則；兩個重要極限：公式見附件。

函數(shù)連續(xù)的概念；函數(shù)間斷點的類型；初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的一致連續(xù)性概念

考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

2.理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法。

3.理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。會求給定函數(shù)的復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。

7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.掌握連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

(二)一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念；導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；平面曲線的切線和法線；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的四則運算；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法；參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法；高階導(dǎo)數(shù)的概念；高階導(dǎo)數(shù)的求法；微分的概念和微分的幾何意義；函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系；微分的運算法則及函數(shù)微分的求法；一階微分形式的不變性；微分在近似計算中的應(yīng)用；微分中值定理；洛必達(L’Hospital)法則；泰勒(Taylor)公式；函數(shù)的極值；函數(shù)最大值和最小值；函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線；函數(shù)圖形的描繪

考試要求

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4.會求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

5.會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)

6.會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

7.理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。

8.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。

9.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

10.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

(三)一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分的基本性質(zhì)；基本積分公式；定積分的概念和基本性質(zhì)；定積分中值定理；變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式；不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分；廣義積分(無窮限積分、瑕積分)；定積分的應(yīng)用

考試要求

1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2.熟練掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓-萊布尼茨公式。掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。

3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4.理解變上限定積分定義的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)。

5.理解廣義積分(無窮限積分、瑕積分)的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力)及函數(shù)的平均值。

(四)向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念；向量的線性運算；向量的數(shù)量積、向量積和混合積；兩向量垂直、平行的條件；兩向量的夾角；向量的坐標表達式及其運算；單位向量；方向數(shù)與方向余弦；曲面方程和空間曲線方程的概念；平面方程、直線方程；平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件；點到平面和點到直線的距離；球面；母線平行于坐標軸的柱面；旋轉(zhuǎn)軸為坐標軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程；常用的二次曲面方程及其圖形；空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；空間曲線在坐標面上的投影曲線方程

考試要求

1.熟悉空間直角坐標系，理解向量及其模的概念。

2.熟悉向量的運算(線性運算、數(shù)量積、向量積)，掌握兩個向量垂直、平行的條件。

3.理解方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，會用坐標表達式進行向量的運算。

4.熟悉平面方程和空間直線方程的各種形式，熟練掌握平面方程和空間直線方程的求法。

5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等)解決有關(guān)問題。

6.會求空間兩點間的距離、點到直線的距離以及點到平面的距離。

7.了解空間曲線方程和曲面方程的概念。

8.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。

9.了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

(五)多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限和連續(xù)；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法；多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法高階偏導(dǎo)數(shù)的求法；空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；方向?qū)?shù)和梯度；二元函數(shù)的泰勒公式；多元函數(shù)的極值和條件極值；拉格朗日乘數(shù)法；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用

考試要求

1.理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。

2.理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運算性質(zhì)，了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會判斷二元函數(shù)在已知點處極限的存在性和連續(xù)性。

3.理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念了解二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系，會求偏導(dǎo)數(shù)和全微分。

4.熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

5.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

6.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。

7.理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

(六)多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)；二重積分與三重積分的計算和應(yīng)用；兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算；兩類曲線積分之間的關(guān)系；格林(Green)公式；平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；已知全微分求原函數(shù)；兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算；兩類曲面積分之間的關(guān)系；高斯(Gauss)公式；斯托克斯(Stokes)公式；散度、旋度的概念及計算；曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

考試要求

1.理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質(zhì)。

2.熟練掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)，掌握二重積分的換元法。

3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。熟練掌握計算兩類曲線積分的方法。

4.熟練掌握格林公式，會利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。會求全微分的原函數(shù)。

5.理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系。熟練掌握計算兩類曲面積分的方法。

6.掌握高斯公式和斯托克斯公式，會利用它們計算曲面積分和曲線積分。

7.了解散度、旋度的概念，并會計算。

8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)。

(七)無窮級數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念；收斂級數(shù)的和的概念；級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性；正項級數(shù)收斂性的判別法；交錯級數(shù)與萊布尼茨定理；任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念；冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域；冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法；泰勒級數(shù)；初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式；函數(shù)的冪級數(shù)展開式在近似計算中的應(yīng)用；函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù)；狄利克雷(Dirichlet)定理；函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級數(shù)；函數(shù)在[0，l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。

考試要求

1.理解常數(shù)項級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件

2.掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散情況。

3.熟練掌握正項級數(shù)收斂性的各種判別法。

4.熟練掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5.理解任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

6.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7.理解冪級數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。

8.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

10.掌握一些常見函數(shù)如ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)^α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

11.會利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進行近似計算。

12.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)。

(八)常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；伯努利(Bernoulli)方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程；可降價的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程；歐拉(Euler)方程；微分方程的簡單應(yīng)用

考試要求

1.掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2.熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。

3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。

4.會用降階法解下列方程：y(n)=f(x)，y″=f(x，y′)和y″=f(y，y′)

5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

8.會解歐拉方程。

9.用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。

---

五、主要參考文獻

《高等數(shù)學(xué)》(上、下冊)，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社，1996年第四版，以及其后的任何一個版本均可。

編制單位：中國科學(xué)院大學(xué)

編制日期：2024年6月26日

---

經(jīng)過對2025年中國科學(xué)院大學(xué)考研高等數(shù)學(xué)（乙）考試大綱的深度解讀，我們不難發(fā)現(xiàn)，該大綱在保持學(xué)科基礎(chǔ)性的同時，也注重了對學(xué)生創(chuàng)新思維和實踐能力的考察。對于廣大考生而言，把握大綱精髓，注重理論與實踐的結(jié)合，將是提高備考效率、取得優(yōu)異成績的關(guān)鍵。希望本文的解讀能夠為大家的備考之路提供有益的啟示與幫助。

---

相關(guān)推薦：2025年中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生招生考試大綱匯總已公布